关于勾股定理

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有着名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常着名。

在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理。这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有勾2+股2=弦2这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras,约公元前580-公元前500）。

实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用勾三股四弦五的法则来确定直角。但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。比如，美国的数学史家M克莱因教授曾经指出：我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实。不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。

证明方法

先拿四个一样的直角三角形。拼入一个（a+b）的正方形中，中央米色正方形的面积：c2 .图（1）再改变三角形的位置就会看到两个米色的正方形，面积是（a2 , b2）。图（2）四个三角形面积不变，所以结论是：a2 + b2 = c2

勾股定理的历史

商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学着作 《周髀 算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：故折矩，勾广三，股修四,经隅五。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5.以后人们就简单地把这个事实说成勾三股四弦五.这就是着名的勾股定理。

关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：故禹之所以治天下者，此数之所由生也。此数指的是勾三股四弦五,这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。

赵爽

东汉末至三国时代吴国人为《周髀算经》作注，并着有《勾股圆方图说》。

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截，割，拼，补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数，形数统一，代数和几何紧密结合，互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的形数统一的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，形数统一的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。

中国最早的一部数学着作--《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话

周公问：我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？

商高回答说：数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形矩'得到的一条直角边勾等于3,另一条直角边股等于4的时候，那么它的斜边弦就必定是5.这 个原理是大禹在治水的时候就总结出来的。